Contoh Soal Matematika Bab Peluang

PELUANG

1. Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi

1. Kaidah Pencacahan
   Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x ..

2. Faktorial
   Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
   n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
   atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1

3. Permutasi
   Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r &#8804 n) yang dinotasikan dengan _nP_r atau P(n,r) atau atau P_n,r
1. Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
2. Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
   
3. Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
   
4. Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
   P = (n – 1)!

4. Kombinasi
   Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
   disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan _nC_r atau C(n,r) atau atau C_n,r
   Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
   

5. Binomial Newton
   

2. Peluang Suatu Kejadian
1. Dalam suatu percobaan :

§  Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel

§  Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel

§  Hasil yang diharapkan disebut kejadian

                        Definisi Peluang
Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian

                        Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : F_h(A) = n x P(A)

                        Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Jika A^c kejadian selain A, maka P(A)^c = 1 – P(A) atau
P(A)^c + P(A) = 1
P(A)^c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A

                        Kejadian Majemuk

                        Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :

                        Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
Jika maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah :

                        Peluang dua kejadian saling bebas
Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan :

                        Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan :

 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1.   Seorang  sekretaris   ingin  menyusun 6   buah  bukulaporan  semesteran   dan  3  buah  buku  laporan tahunan dalam satu rak berjajar.  Setiap jenis buku laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut menyusun buku  ?

2.   Sebanyak   6  orang  akan  membeli  tiket   tanda  masuksebuah  pertunjukkan  secara   bersa-maan.  Jika  hanyatersedia   sebuah   loket pembelian tiket,  maka berapakonfigurasi  antrian   yang  mungkin  dapat  terjadi.

3.   Ada  berapa   cara  untuk memilih  seorang pemenang   pertama,   seorang pemenang  kedua dan  seorang   pemenang  ketiga   dari   sebuah kontes yang diikuti oleh 100 kontestan?

4.   Empat   tim   bulu   tangkis   ganda  disusun  darisejumlah  8  pemain.  Tentukan   banyaknya konfigurasi  yang   mungkin, jika   setiap  pemain hanya bermain  pada  satu   tim?

5.   Sebanyak   50  orang turis  manca  negara   ingin mengunjungi   sebuah  pulau dengan menggunakan jalur  udara.  Jika hanya tersedia sebuah  pesawat dengan  kapasitas   10 penumpang   yang  menuju pulau tersebut,   ada berapa formasi  penerbangan  para  turis tersebut?

6.   Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu
dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel:

Gender            Bekerja  Menanggur  Jumlah
Laki  – laki        670   130   800
Perempuan     130   270   400
Total                 800  400   1200

Ada 36 orang dengan status bekerja dan 12 orang menganggur merupakan anggota koperasi.
-   Berapa probabilitas orang yang terpilih ternyata anggota koperasi?
-   Berapa probabilitas anggota yang bekerja?
-   Berapa probabilitas anggota koperasi yang menanggur? 

JAWAB

1.) Diket : Menyusun 6 buah buku lap. semester dan 3 buah buku lap. tahunan dan
letaknya harus berjajar.
Ditanya : Banyak cara menyusun buku ?
Jawab :
2 ( 6! 3! )
= 2 ( 720 x 6 )
= 2 (4320)
= 8640 Cara

2.) Diket : Sebanyak 6 orang membeli tiket secara bersamaan dalam 1 loket
Ditanya : Konfigurasi antrian?
Jawab :
6! = ( 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 )
= 720 konfigurasi antrian

3.) Diket : Memilih pemenang pertama, kedua, dan ketiga dalam
sebuah kontes
Ditanya : Cara memilih ketiga pemenang di mana peserta berjumlah 100
orang
Jawab :
3p₁₀₀ = 100 x 99 x 98
= 970200 Cara

4.) Diket : Sejumlah 4 tim bulutangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain
Ditanya : Konfigurasi jika pemain hanya bermain pada 1 tim ?
Jawab :
8! / 2! 2! 2! 2!
= 40320 / 8
= 5040 Konfigurasi

5.) Diket : 50 turis ingin mengunjungi pulau lewat jalur udara.
Tetapi hanya ada 1 buah pesawat dan hanya bisa menampung 10
orang.
Ditanya : Berapa formasi penerbangan para turis ?
Jawab :
5! = ( 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
= 120 formasi

6.) Diket :

36 Bekerja dan 12 menganggur dan merupakan anggota koperasi

Jenis Kelamin	Bekerja	Menganggur	Jumlah
Laki – laki Perempuan Total	670 130 800	130 270 400	800 400 1200

Ditanya :
a. Probabilitas orang yang terpilih jadi anggota koperasi ?
b. Probabilitas anggota koperasi yang bekerja ?
c. Probabilitas anggota koperasi yang menganggur ?

Jawab :
a.) Probabilitas orang yang terpilih jadi anggota koperasi
= ( 36 + 12 ) / 1200
= 4 %
b.) Probabilitas anggota koperasi yang bekerja
= 36 / 800
= 4,5 %
c.) Probabilitas anggota koperasi yang menganggur
= 12 / 400
= 3 %